Question

对?n∈N₊，直线y=

1

n

x-2总与双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1左、右两支各有一个交点，则该双曲线的离心率e范围为

 

．

Answer 1

分析：为了保证对?n∈N₊，直线y=

1

n

x-2总与双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1左、右两支各有一个交点，只须：渐近线y=

b

a

x的斜率大于当n取最小值1时，直线y=

1

n

x-2的斜率即可，根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围．

解答：解：已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y=

b

a

x，
当n取最小值1时，直线y=

1

n

x-2的斜率为1
为了保证对?n∈N₊，直线y=

1

n

x-2总与双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1左、右两支各有一个交点，
只须：渐近线y=

b

a

x的斜率大于当n取最小值1时，直线y=

1

n

x-2的斜率即可，
∴

b

a

＞1，离心率e²=

c2

a2

=

a2+b2

a2

=1+(

b

a

) 2＞2，
∴e＞

2

，
故答案为：(

2

，+∞)．

点评：本题考查双曲线的性质及其应用，解题时要注意挖掘隐含条件．