Question

(本题满分14分)已知函数f(x)满足2ax·f(x)=2f(x)-1,f(1)=1，设无穷数列{a_n}满足a_n+1=f(a_n).（1）求函数f(x)的表达式；（2）若a₁=3，从第几项起，数列{a_n}中的项满足a_n＜a_n+1；（3）若＜a₁＜（m为常数且m∈N+,m≠1），求最小自然数N，使得当n≥N时，总有0＜a_n＜1成立。

Answer 1

（1）

解析:

（1）当a=0时，有0=2f(x)-1,把f(1)=1代入2f(x)-1=1≠0，则a≠0，当a≠0时，f(x)=-,

又f(1)=1,  ∴,        4 分

(2)若a₁=3，由,,

假设当n≥3时，0＜a_n＜1,则0＜a_n+1=＜=12-a_n＞0，从而a_n+1-a_n=＞0  a_n+1＞a_n        从第2项起，数列{a_n}中的项满足a_n＜a_n+1                                 9分

另解：由

∴要满足a_n＜a_n+1，即＜，      ＜0＞0n＞或n＜，又∵n∈N*,∴n＞,∴从第2项起，数列{a_n}中的项满足a_n＜a_n+1                 9分

（3）当＜a₁＜时，由＜a₂＜,同理＜a₃＜,假设＜a_n＜,由与归纳假设知＜a_m，即a_m＞2

∴＜0,0＜a_m+2=＜=1   ∴N=m+2，使得当n≥N时，总有0＜a_n＜1            14分

另解：由（2）的方法2可得　　

要使0＜a_n＜1，则0＜＜1-1＜＜1-1＜＜0

即当＜n-2时，总有0＜a_n＜1，又∵＜a₁＜＜m-1＜＜m

∴m≤n-2n≥m+2    ∴当N＝m+2，使得当n≥N时总有0＜a_n＜1              14分