题目内容

已知函数f（x）的图象过点（
π
4
，-
1
2
），它的导函数f′（x）=Acos（ωx+φ）（x∈R）的图象的一部分如图所示，其中A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
，为了得到函
数f（x）的图象，只要将函数y=sinx（x∈R）的图象上所有的点（　　）
A．向左平移
π
6
个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的
1
2
倍，纵坐标不变，最后沿y轴方向向下平移一个单位长度
B．向左平移
π
6
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，最后沿y轴方向向上平移一个单位长度
C．向左平移
π
3
个单位长度，再把得所各点的横坐标缩短到原来的
1
2
倍，纵坐标不变，最后沿y轴方向向下平移一个单位长度
D．向左平移
π
3
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，最后沿y轴方向向上平移一个单位长度
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∵f′（x）=Acos（ωx+φ），
∴由图知，A=2，
3
4
T=
π
3
+
5π
12
=
3
4
π，
∴T=
2π
ω
=π，
∴ω=2，
又
π
3
ω+φ=π+2kπ，k∈Z，
∴φ=2kπ+
π
3
（k∈Z），又|φ|＜
π
2
，
∴φ=
π
3
．
∴f′（x）=2cos（2x+
π
3
）．
∴f（x）=sin（2x+
π
3
）+b．
∵函数f（x）的图象过点（
π
4
，-
1
2
），
∴sin（2×
π
4
+
π
3
）+b=-
1
2
，
∴b=-1．
∴f（x）=sin（2x+
π
3
）-1．
∴为了得到函数f（x）sin（2x+
π
3
）-1的图象，
只要将函数y=sinx（x∈R）的图象上所有的点：向左平移
π
3
个单位长度，再把得所各点的横坐标缩短到原来的
1
2
倍，纵坐标不变，最后沿y轴方向向下平移一个单位长度即可．
故选C．
练习册系列答案
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已知函数f（x）的图象有且仅有由五个点构成，它们分别为（1，2），（2，3），（3，3），（4，2），（5，2），则f（f（f（5）））=
3
3
．
（2012•天门模拟）已知函数f（x）的图象经过点（1，λ），且对任意x∈R，都有f（x+1）=f（x）+2．数列{an}满足a1=λ-2，2an+1=
2n，n为奇数
f(an)，n为偶数

（I）求f（n）（n∈N*）的表达式；
（II）设λ=3，求a1+a2+a3+…+a2n；
（III）若对任意n∈N*，总有anan+1＜an+1an+2，求实数λ的取值范围．
已知函数f（x）的图象关于原点对称，且当x＜0时，f（x）=2x-4，那么当x＞0时，f（x）=
2x+4
2x+4
．
（2011•焦作一模）已知函数f（x）的图象过点（
π
4
，-
1
2
），它的导函数f′（x）=Acos（ωx+φ）（x∈R）的图象的一部分如图所示，其中A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
，为了得到函
数f（x）的图象，只要将函数y=sinx（x∈R）的图象上所有的点（　　）
已知函数f（x）的图象关于直线x=2对称，且当x≠2时其导函数f′（x）满足xf′（x）＞2f′（x），若2＜a＜4，则下列表示大小关系的式子正确的是（　　）
A、f（2a）＜f（3）＜f（log2a）B、f(3)＜f(log2a)＜f(2a)C、f(log2a)＜f(3)＜f(2a)D、f(log2a)＜f(2a)＜f(3)

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