题目内容

已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=2，任取a、b∈[-1，1]，a+b≠0，都有 $数学公式$ ＞0成立
（1）判断f（x）的单调性，并说明理由；　　
（2）解不等式f（x）＜ $数学公式$
（3）若f（x）≤2m²-2am+3对所有的m∈[0，3]恒成立，求a的范围．

解：（1）取a=x₁，b=-x₂∈[-1，1]，且x₁＞x₂，则x₁-x₂=a+b＞0，
因为f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，则f（a）+f（b）=f（x₁）+f（-x₂）=f（x₁）-f（x₂），
所以 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，所以f（x₁）＞f（x₂）
所以函数f（x）是定义在[-1，1]上的增函数．
（2）因为f（x）是定义在[-1，1]，且函数f（x）是定义在[-1，1]上的增函数，
所以 $\text{[math]}$ ? $\text{[math]}$ ，解得： $\text{[math]}$
所以不等式f（x）＜ $\text{[math]}$ 的解集为[0， $\text{[math]}$ ）
（3）因为函数f（x）是定义在[-1，1]上的增函数，
所以在[-1，1]上函数f（x）的最大值为f（1）=2，
若f（x）≤2m²-2am+3对所有的m∈[0，3]恒成立，即2≤2m²-2am+3对所有的m∈[0，3]恒成立，
也就是2m²-2am+1≥0恒成立，
分离变量得： $\text{[math]}$ 恒成立，
因为 $\text{[math]}$ （当且仅当 $\text{[math]}$ 时取等号）
所以 $\text{[math]}$ ．
所以所求a的范围是（-∞， $\text{[math]}$ ]．
分析：（1）利用题目给出的等式及函数单调性的定义判断函数f（x）的单调性；
（2）在保证不等式本身有意义的前提下，运用（1）判明的函数f（x）的增减性脱掉对应关系求解不等式；
（3）先求出函数f（x）在[-1，1]上的最大值，代入不等式后得到新不等式，然后借助于分离变量法求实数a的取值范围．
点评：本题考查了函数的单调性与奇偶性的结合，考查了运用单调性求解不等式的方法，训练了运用分离变量法求解恒成立的问题，同时训练了利用基本不等式求函数的最值，是一个非常好的综合题．