Question

已知正方形ABCD的中心在原点，四个顶点都在曲线y=ax³+bx上．
（1）若正方形的一个顶点为（2，1），求a、b的值；
（2）若a=1，求证：b=-2

2

是正方形ABCD唯一确定的充要条件．

Answer 1

分析：（1）利用线段的中点坐标公式，求出另三个顶点坐标，将相邻2点的坐标代入曲线方程，可求a、b的值．
（2）先证充分性，由b=-2

2

，推证正方形在第一象限的顶点坐标为（m，n）是唯一的，正方形ABCD唯一确定；
再证必要性：正方形在第一象限的顶点坐标为（m，n）是唯一的，即方形ABCD唯一确定，推出b=-2

2

．

解答：解：（1）∵一个顶点为（2，1），由中点坐标公式得
必有另三个顶点坐标为：（-2，-1），（1，-2），（-1，2），
将（2，1），（1，-2）代入y=ax³+bx，得a=

5

6

，b=-

17

6

．
（2）设正方形在第一象限的顶点坐标为（m，n），则必然有另一个顶点（n，-m），
1°充分性：
若b=-2

2

，y=x3-2

2

x则

n=m3-2 2 m -m=n3-2 2 n

，则有

n m =m2-2 2 - m n =n2-2 2

，
即(m2-2

2

)(n2-2

2

)+1=0--①
令m2-2

2

=t＞0，则n=mt，代入①得t(m2t2-2

2

)+1=0
即t[(t+2

2

)t2-2

2

]+1=0化简得(t-

1

t

+

2

)2=0，
又t-

1

t

+

2

=0有且仅有一个正根，∴（m，n）唯一确定，
即正方形ABCD唯一确定．
2°必要性：
若（m，n）唯一确定，则

n=m3+bm -m=n3+bn

，即

n m =m2+b - m n =n2+b

即（m²+b）（n²+b）+1=0--②
令m²+b=t＞0，则n=mt，代入②得t（m²t²+b）+1=0
即t[（t-b）t²+b]+1=0化简得t2+

1

t2

-b(t-

1

t

)=0，
即(t-

1

t

)2-b(t-

1

t

)+2=0--③
又③有唯一解，∴b²=8，又∵b=-

m

n

-n2＜0
∴b=-2

2

，
∴b=-2

2

是正方形ABCD唯一确定的充要条件．

点评：本题考查求直线的交点、充分必要条件的判断方法．