题目内容
如图1,在边长为3的等边三角形ABC中,E,F,P分别为AB,AC,BC边上的点,且满足AE=FC=CP=1,将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置,如图2,使平面A1EF⊥平面FEBP,连接A1B,A1P,
(1)求证:A1E⊥PF.
(2)若Q为A1B中点,求证:PQ∥平面A1EF.
【证明】(1)在△AEF中,因为AE=1,AF=2,∠A=60°,
由余弦定理得EF=
=
,
所以AE2+E
F2=AF2=4,所以EF⊥AE.
所以在题干图2中有A1E⊥EF.
因为平面A1EF⊥平面FEBP,平面A1EF∩平面FEBP=EF,A1E⊂平面A1EF,
所以A1E⊥平面FEBP.所以A1E⊥PF.
(2)在题干图1△ABC中,因为
=
=
,设BE的中点为H,连接PH,QH,
所以PF∥BE,且PF=EH,所以四边形PFEH为平行四边形,所以PH∥EF,
PH⊄平面A1EF,EF⊂平面A1EF,所以PH∥平面A1EF,
又QH∥A1E,QH⊄平面A1EF,A1E⊂平面A1EF,所以QH∥平面A1EF.
QH∩PH=H,所以平面A1EF∥平面QHP,
PQ⊂平面QHP,所以PQ∥平面A1EF.
练习册系列答案
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（2013•汕头二模）如图，在边长为3的等边三角形ABC中，E，F，P分别为AB，AC，BC边上的点，且满足AE=FC=CP=1，将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，如图，使平面A1EF⊥平面FEBP，连结A1B，A1P，
（2013•临沂三模）如图，在边长为3的正三角形ABC中，G、F为边AC的三等分点，E、P分别是AB、BC边上的点，满足AE=CP=1，今将△BEP，△CFP分别沿EP，FP向上折起，使边BP与边CP所在的直线重合，B，C折后的对应点分别记为B1，C1．
