Question

已知函数f(x)=

x-1 x+1

，(x＞1)
（1）求函数f（x）的反函数 f^-1（x）及其定义域；
（2）若?(x)=f-1(x)-

ax

1-x2

在区间[

1

3

，

1

2

]上是单调增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设y=f(x)=

x-1 x+1

(x＞1)，则y2=

x-1

x+1

，y＞0，由此能求出f^-1（x）和其定义域．
（2）?(x)=f-1(x)-

ax

1-x2

=

x2-ax+1

1-x2

，由m=1-x²在区间[

1

3

，

1

2

]上是单调减函数，∅（x）=

x2-ax+1

1-x2

在区间[

1

3

，

1

2

]上是单调增函数，知n=x²-ax+1在区间[

1

3

，

1

2

]上是单调增函数，由此能求出实数a的取值范围．

解答：解：（1）设y=f(x)=

x-1 x+1

(x＞1)，
则y2=

x-1

x+1

，y＞0，
x=

y2+1

1-y2

，
x，y互换，得y =

x2+1

1-x2

．
∵y=f(x)=

x-1 x+1

(x＞1)，
∴y＞0，
∴f^-1（x）=

x2+1

1-x2

，其定义域为{x|x＞0}．
（2）?(x)=f-1(x)-

ax

1-x2

=

x2+1

1-x2

-

ax

1-x2

=

x2-ax+1

1-x2

，
∵m=1-x²在区间[

1

3

，

1

2

]上是单调减函数，∅（x）=

x2-ax+1

1-x2

在区间[

1

3

，

1

2

]上是单调增函数，
∴n=x²-ax+1在区间[

1

3

，

1

2

]上是单调增函数，
∴

a

2

≤

1

3

，
∴a≤

2

3

．

点评：本题考查反函数的求法和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．