Question

已知函数f（x）=cosx+cos（x+

π

2

），x∈R，
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）的单调增区间；（Ⅲ）若f（a）=

3

4

，求sin2α的值．

Answer 1

分析：可先用诱导公式将函数化为f（x）=cosx-sinx，再将函数化为f（x）=

2

cos（x+

π

4

）．根据余弦函数的性质，来求最小正周期和单调增区间．至于sin2α的值，可利用二倍角公式来求解．

解答：解：因为f（x）=cosx+cos（x+

π

2

）=cosx-sinx=

2

（

2

2

cosx-

2

2

sinx）=

2

cos（x+

π

4

）
    所以：
    （1）f（x）的最小正周期为T=

2π

1

=2π；
    （2）由π+2kπ≤x+

π

4

≤2π+2kπ，k∈Z得
      

3π

4

+2kπ≤x≤

7π

4

+2kπ，k∈Z
      故f（x）的单调增区间为[

3π

4

+2kπ，

7π

4

+2kπ]，k∈Z
     （3）∵f（a）=

3

4

，即cosα-sinα=

3

4

∴1-2sinαcosα=

9

16

∴sin2α=

7

16

点评：这类问题作为三角函数的基础问题，我们先用三角恒等变换变换将函数化为y=Asin（ωx+φ）（ω＞0）或y=Acos（ωx+φ）（ω＞0）的形式，然后根据正弦函数或余弦函数的性质来求解．三角恒等变换，一定要熟练掌握．