Question

已知函数.
（1）当时，求的值域；
（2）当,时，函数的图象关于对称，求函数的对称轴；
（3）若图象上有一个最低点，如果图象上每点纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍，然后向左平移1个单位可得的图象，又知的所有正根从小到大依次为，，…，…且，求的解析式.

Answer 1

（1）①当时，值域为：； ② 当时，值域为：；（2）；（3）

试题分析：（1）利用正弦函数的值域和不等式性质即可求出的值域，主要要分与0两种情况；（2）先由对称轴过最值点列出关于的方程，求出，然后将函数利用设辅助角公式化为一个角的三角函数，再利用求对称轴的方法求出对称轴；（3）先由设辅助角公式将函数化成一个角的三角函数，利用过最低点，求出辅助角并将用表示出来，即求出的解析式，再根据题中的图像变换求出的解析式，再根据题中已知条件的所有正根从小到大依次为，，…，…且确定参数，即可得到的解析式.
试题解析：（1）当时，
①当时，值域为：     ② 当时，值域为：
（2）当，时，且图象关于对称。
∴    ∴函数即：∴  由
∴函数的对称轴为：
（3）由
（其中，）
由图象上有一个最低点，所以
∴    ∴
又图象上每点纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍，然后向左平移1个单位可得的图象，则
又∵的所有正根从小到大依次为，，…，…，且
所以与直线的相邻交点间的距离相等，根据三角函数的图象与性质可得以下情况：
（1）直线要么过的最高点或最低点.
即或（矛盾），
当时，函数的,       
直线和相交，且，周期为3（矛盾）
（2）经过的对称中心
即，
当时，函数   
直线和相交，且，周期为6（满足）
综上：.
考点:三角函数图像与性质；图像变换；逻辑推理能力