Question

20．已知函数f（x）=lnx+$\frac{k}{x}$，k∈R，若f（x）≥2+$\frac{1-e}{x}$恒成立，则实数k的取值范围为（　　）

• A． k＞1
• B． k≥1
• C． k＞3
• D． k≥3

Answer 1

分析 将不等式f（x）≥2+$\frac{1-e}{x}$恒成立进行转化，利用参数分离法求函数的最值，求实数k的取值范围．

解答 解：若f（x）≥2+$\frac{1-e}{x}$恒成立，
即lnx+$\frac{k}{x}$≥2+$\frac{1-e}{x}$，
则k≥2x+1-e-xlnx，
设g（x）=2x+1-e-xlnx，
则g′（x）=2-（1+lnx）=1-lnx，
当x＞e，则g′（x）=1-lnx＜0，此时函数单调递减，
当0＜x＜e，则g′（x）=1-lnx＞0，此时函数单调递增，
即当x=e时，g（x）取得极大值，同时也是最大值g（e）=2e+1-e-e=1，
则k≥1，
即k的取值范围是k≥1．
故选：B．

点评 本题主要考查函数单调性和导数之间的关系，以及不等式恒成立问题，利用参数分离法是解决本题的关键．