Question

12．在平面直角坐标系中，已知直线l过点P（-1，2），倾斜角α=$\frac{π}{6}$，再以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=3．
（Ⅰ）写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线l与曲线C分别交于M、N两点，求|PM|•|PN|的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可得直线l的参数方程：$\left\{{\begin{array}{l}{x=-1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}\\{y=2+\frac{1}{2}t}\end{array}}\right.$（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ=3，利用$ρ=\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$即可得出曲线C的直角坐标方程．
（Ⅱ）将直线的参数方程代入x²+y²=9，得${t^2}+（2-\sqrt{3}）t-4=0$，利用直线参数方程中参数t的几何意义可得|PM|•|PN|=|t₁t₂|即可得出．

解答 解：（Ⅰ）直线l的参数方程：$\left\{{\begin{array}{l}{x=-1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}\\{y=2+\frac{1}{2}t}\end{array}}\right.$（t为参数），
曲线C的极坐标方程为ρ=3，可得曲线C的直角坐标方程x²+y²=9．
（Ⅱ）将直线的参数方程代入x²+y²=9，得${t^2}+（2-\sqrt{3}）t-4=0$，
设上述方程的两根为t₁，t₂，则t₁t₂=-4．
由直线参数方程中参数t的几何意义可得|PM|•|PN|=|t₁t₂|=4．

点评 本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．