Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，点E在棱AB上移动。

（1）证明：D₁E⊥A₁D；
（2）当E为AB的中点时，求点A到面ECD₁的距离；
（3）当AE等于何值时，二面角D₁-EC-D的大小为。

Answer 1

（1）证明：连结，则，

∴平面，

∴。
（2）解：，
设点A到面ECD₁的距离为d，则，
在△ECD₁中，，，
∴△D₁EC为直角三角形，
∴
又，
∴，
∴。
（3）过点D作，垂足为H，连结D₁H，
，
∴，∴，
∴，
∴∠D₁HD为D₁-EC-D二面角的平面角，
∴∠D₁HD=，
∴
，
∴BE=，
∴AE=2-。