题目内容

已知双曲线x²-y²=1及点A（ $数学公式$ ，0）．
（1）求点A到双曲线一条渐近线的距离；
（2）已知点O为原点，点P在双曲线上，△POA为直角三角形，求点P的坐标．

解：（1）双曲线的一条渐近线是x-y=0，
由点到直线距离公式，A点到一条渐近线的距离是 $\text{[math]}$ ；
（2）当∠OAP=90°，时，点P的横坐标为 $\text{[math]}$ ，代入双曲线x²-y²=1得：y= $\text{[math]}$ ，
∴点P的坐标（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．
当∠OPA=90°，时，点P的坐标为（x，y），
则有：（x- $\text{[math]}$ ）²+y²= $\text{[math]}$ ，与方程x²-y²=1联立得：
$\text{[math]}$
∴点P的坐标（2， $\text{[math]}$ ）．
分析：（1）双曲线的一条渐近线是x-y=0，由点到直线距离公式可求出双曲线的A点到一条渐近线的距离．
（2）根据，△POA为直角三角形，分两种情况讨论：当∠OAP=90°，时，点P的横坐标为 $\text{[math]}$ ，代入双曲线x²-y²=1即得；当∠OPA=90°，时，点P的坐标为（x，y），
则有：（x- $\text{[math]}$ ）²+y²= $\text{[math]}$ ，与方程x²-y²=1联立可得．
点评：本小题主要考查双曲线的简单性质、点到直线的距离公式等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．属于基础题．