Question

（本小题满分12分）
已知圆的方程为，为坐标原点.
（Ⅰ）求过点的圆的切线方程；
（Ⅱ）若圆上有两点关于直线对称，并且满足，求
的值和直线的方程；
（Ⅲ）过点作直线与圆交于两点，求的最大面积以及此时直线的斜率.

Answer 1

(1)
(2)
(3)的最大面积为8，此时直线的斜率为.

解：（Ⅰ）圆的标准方程为，圆心为，半径
设过点的切方程为，即，
则，解得
切线方程为                                       ----------------3分
当斜率不存在时，也符合题意.
故求过点的圆的切线方程为：或.    ----------------4分
（Ⅱ）因为点在圆上且关于直线对称，
∴圆心在直线上，代入得.------------------------------5分
因为直线与直线垂直，
所以可以设，方程为.
将直线代入圆C的方程，得.------------------------------------------6分
,得.
由根与系数的关系得
   

因为
所以
即,解得,
故所求的直线方程为.--------------------------------8分
（Ⅲ）当直线的斜率不存在时,,              ----------------------------9分
当直线的斜率存在时,设直线的方程为，即，
圆心到直线的距离，线段的长度，
所以，，
当且仅当时取等号，此时，解得
所以，的最大面积为8，此时直线的斜率为.      --------12分