Question

已知向量

a

=（1，sinx），

b

=（sin²x，cosx），函数f（x）=

a

•

b

，x∈[0，

π

2

]
（1）求f（x）的最小值；
（2）若f（α）=

5

6

，求sin2α的值．

Answer 1

分析：（1）根据向量的数量积的坐标运算公式，结合二倍角三角公式和辅助角公式化简整理得f（x）=sin（2x-

π

4

）+

1

2

．再根据x∈[0，

π

2

]，得到当x=0时，f（x）的最小值为f（0）=0；
（2）由（1）的结论，得到sin（2α-

π

4

）=

2

3

，利用同角三角函数的平方关系结合2α-

π

4

取值范围，算出cos（2α-

π

4

）=

7

3

，最后利用配角和两角和的正弦公式，即可算出sin2α的值．

解答：解：（1）∵向量

a

=（1，sinx），

b

=（sin²x，cosx），
∴f（x）=

a

•

b

=sin²x+sinxcosx=

1-cos2x

2

+

1

2

sin2x=

2

2

sin（2x-

π

4

）+

1

2

∵x∈[0，

π

2

]，∴2x-

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]
因此，当2x-

π

4

=-

π

4

，即x=0时，f（x）取得最小值，最小值为f（0）=0；
（2）由（1）得f（α）=

2

2

sin（2α-

π

4

）+

1

2

=

5

6

，化简得sin（2α-

π

4

）=

2

3

∵α∈[0，

π

2

]，2α-

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]，且sin（2α-

π

4

）=

2

3

＜sin

π

4

∴2α-

π

4

∈[0，

π

4

]，得cos（2α-

π

4

）=

1-( 2 3 )2

=

7

3

因此可得：
sin2α=sin[（2α-

π

4

）+

π

4

]=

2

2

[sin（2α-

π

4

）+cos（2α-

π

4

）]=

2+ 14

6

．

点评：本题以向量数量积为载体，求函数的最小值和三角函数值．着重考查了向量数量积坐标运算公式、三角恒等变换和三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．