题目内容

已知向量
a
=（2cos2x，
3
），
b
=（1，sin2x），函数f（x）=
a
•
b
．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，a=1且f（A）=3，求△ABC的面积S的最大值．
分析：（Ⅰ）利用两个向量的数量积公式滑进函数f（x）的解析式为2sin（2x+
π
6
）+1，令 2kπ-
π
2
≤2x+
π
6
≤2kπ+
π
2
，k∈z，求得x的范围，可得f（x）的单调递增区间．
（Ⅱ）由 a=1且f（A）=3，求得A=
π
6
．再由余弦定理以及基本不等式求得 bc≤
a2
2(1-cosA)
，可得 S=
1
2
bc sinA≤
a2•sinA
4(1-cosA)
=
2+
3
4
．
解答：解：（Ⅰ）函数f（x）=
a
•
b
=2cos2x+
3
sin2x=2sin（2x+
π
6
）+1，…（3分）
令 2kπ-
π
2
≤2x+
π
6
≤2kπ+
π
2
，k∈z，解得 kπ-
π
3
≤x≤kπ+
π
6
，k∈z．
故 f（x）的单调递增区间为[kπ-
π
3
，kπ+
π
6
]，k∈z．…（6分）
（Ⅱ）∵a=1且f（A）=3，∴sin（2A+
π
6
）=1，由于 0＜A＜π，即 A=
π
6
．
又 a2=b2+c2-2bc•cosA 及  b2+c2≥2bc，∴bc≤
a2
2(1-cosA)
，…（9分）
∴S=
1
2
bc sinA≤
a2•sinA
4(1-cosA)
=
2+
3
4
，当且仅当 b=c时，取“=”．
∴S的最大值为
2+
3
4
．…（12分）
点评：本题主要考查两个向量的数量积公式的应用，正弦函数的增区间，以及基本不等式的应用，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知向量a=（tanx，1），b=（sinx，cosx），f（x）=a•b．
（I）求函数f（x）的解析式及最大值；
（II）若f(x)=
5
4
，求2cos2(
π
4
+x)-1的值．
已知向量
a
=(1-2cos2
ωx
2
，  1)，
b
=（-1，cos（ωx+
π
3
）），ω＞0，点A、B为函数f(x)=
a
•
b
的相邻两个零点，AB=π．
（1）求ω的值；
（2）若f(x)=
3
3
，x∈(0，
π
2
)，求sinx的值；
（3）求g(x)=f(x)-
3
2
x在区间[0，2π]上的单调递减区间．
已知向量
a
=(1-2cos2
ωx
2
，  1)，
b
=（-1，cos（ωx+
π
3
）），ω＞0，点A、B为函数f(x)=
a
•
b
的相邻两个零点，AB=π．
（1）求ω的值；
（2）若f(x)=
3
3
，x∈(0，
π
2
)，求sinx的值；
（3）求g(x)=f(2x)-
3
x在区间[0，  
3π
2
]上的单调递减区间．
（2013•湖南模拟）已知向量
a
=(sinx，2co
s
2
 
x)，
b
=(2
3
cosx，-1)，函数f(x)=
a
•
b
+1．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）将函数y=f（x）的图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的
1
2
倍；再把所得到的图象向左平移
π
6
个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在区间[-
π
6
，
π
12
]上的值域．
已知向量
a
=(sinx，2co
s2 
x)，
b
=(2
3
cosx，-1)，函数f(x)=
a
•
b
+1．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）将函数y=f（x）的图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的
1
2
倍；再把所得到的图象向左平移
π
6
个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在区间[-
π
6
，
π
12
]上的值域．

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