Question

【题目】已知椭圆的离心率为，其过点，其长轴的左右两个端点分别为，直线交椭圆于两点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设直线的斜率分别为，若，求的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】试题分析：（1）由椭圆的离心率为 ，且过点 ，列出方程组，求出 ，由此能求出椭圆方程；（2）联立方程 ，得 ，由此利用根的判别式、韦达定理、直线方程，结合已知条件能求出 的值.

试题解析：（1）由题意的，解得，

所以椭圆的方程为.

（2）设，联立方程 ，得，

所以判别式，

因为，

由题意知，所以,

因为，即，得，

又，所以，同理，

代入上式，解得，即，

所以，解得，

又因为，所以（舍去），所以.

【方法点晴】本题主要考查待定系数求椭圆方程、韦达定理以及直线与椭圆的位置关系，属于难题.用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在轴上，还是在轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程或；③找关系：根据已知条件，建立关于、、的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.