Question

（已知工厂生产某种产品，次品率p与日产量x（万件）间的关系为p=

1 6-x ，0＜x≤c 2 3 ，x＞c.

(其中c为常数，且0＜c＜6)，每生产1件合格产品盈利3元，每出现1件次品亏损1.5元． （I）将日盈利额y（万元）表示为日产量x（万件）的函数；（Ⅱ）为使日盈利额最大，日产量应为多少万件？

Answer 1

分析：（I）要求日盈利额y（万元），只要找出日产量x（万件）中正品与次品的数量，根据分段函数分段研究，针对不同的次品率得到不同的正品与次品数即可；
（Ⅱ）利用函数的导数求函数的最大值．

解答：解：（Ⅰ）当x＞c时，p=

2

3

，∴y=

1

3

•x•3-

2

3

•x•

3

2

=o当0＜x≤c时，p=

1

6-x

，
∴y=(1-

1

6-x

)•x•3-

1

6-x

•x•

3

2

=

3

2

•

9x-2x2

6-x

∴日盈利额y（万元）与日产量x（万件）的函数关系为y=

3(9x-2x2) 2(6-x) ，0＜x≤c 0，x＞c.

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当x＞c．时，日盈利额为0．当0＜x≤c时，
∵y=

3(9x-2x2)

2(6-x)

，∴y′=

3

2

•

(9-4x)(6-x)+(9x-2x2)

(6-x)2

=

3(x-3)(x-9)

(6-x)2

，
令y'=0得x=3或x=9（舍去）∴①当o＜c＜3时，∵y'＞0，∴y在区间（0，c]上单调递增，
∴y最大值=f(c)=

3(9c-2c2)

2(6-c)

，此时x=c；
②当3≤c＜6时，在（0，3）上，y'＞0，在（3，6）上y'＜0，∴y最大值=f(3)=

9

2

，
综上，若0＜c＜3，则当日产量为c万件时，日盈利额最大；
若3≤c＜6，则当日产量为3万件时，日盈利额最大

点评：本题考查分段函数的应用与计算以及函数的导数求函数最值，要求熟练掌握求导法则以及导数法判断函数的单调性解决问题，是中等题．