Question

若不等式5+m+

4

m

≥k对任意m∈（0，+∞）都成立，则K的最大值为

9

．

Answer 1

分析：令f（m）=5+m+

4

m

，m∈（0，+∞），求得f（m）的最小值即可．

解答：解：∵不等式5+m+

4

m

≥k对任意m∈（0，+∞）都成立，
∴k≤f（m）的最小值．
令f（m）=5+m+

4

m

，m∈（0，+∞），
则由基本不等式得：f（m）=5+m+

4

m

≥5+2

m• 4 m

=9（当且仅当m=2时取“=”）．
∴f（m）_min=9．
∴k≤9．
∴k的最大值为9．
故答案为：9．

点评：本题考查基本不等式，考查构造函数的思想，考查恒成立问题，属于中档题．