Question

若a、b、c均为实数，且a=x²-2y+,b=y²-2z+,c=z²-2x+,求证:a、b、c中至少有一个大于0.

Answer 1

分析：命题伴有“至少……”“不都……”“都不……”“没有……”“至多……”等指示性语句，在直接方法很难证明时，可以采用反证法.

证明：假设a、b、c都不大于0，即a≤0,b≤0,c≤0,则a+b+c≤0,而a+b+c=x²-2y++y²-2z++z²-2x+=(x-1)²+(y-1)²+(z-1)²+π-3.

∵π-3＞0,且（x-1）²+(y-1)²+(z-1)²≥0,

∴a+b+c＞0,

这与a+b+c≤0矛盾.

因此,a、b、c中至少有一个大于0.

绿色通道:

反证法证题的实质是证明它的逆否命题成立，反证法的主要依据是逻辑中的排中律，排中律的一般表现形式是：或者是A,或者非A，即在同一讨论过程中，A和非A有一个且仅有一个是对的，不能有第三种情形出现.