Question

如图，在所有棱长均为2的正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D、E分别为BC、BB₁的中点，
（Ⅰ）求证：A₁B∥平面AC₁D；
（Ⅱ）求证：CE⊥平面AC₁D；
（Ⅲ）求AB₁与平面AC₁D所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（I）连结A₁C交AC₁于点O，连结OD，由平行四边形的性质和三角形中位线定理证出A₁B∥OD，根据线面平行判定定理，可得A₁B∥平面AC₁D；
（II）根据BB₁⊥平面ABC，得到BB₁⊥AD，等腰△ABC中根据“三线合一”，得到AD⊥BC，从而证出AD⊥平面BB₁C₁C，可得AD⊥CE．正方形BB₁C₁C中，根据Rt△CBE≌Rt△C₁CD证出C₁D⊥CE，再利用线面垂直判定定理即可证出CE⊥平面AC₁D；
（III）取C₁C的中点N，连结B₁N交C₁D于点M，连结AM，证出四边形CNB₁E为平行四边形，得CE∥B₁N，从而得出B₁N⊥平面AC₁D，所以∠B₁AM就是直线AB₁与平面AC₁D所成的角．设CE∩C₁D=F，在△C₁CD中算出CF的长，从而得出MN、B₁M的长，最后在Rt△B₁AM中利用三角函数的定义算出sin∠B₁AM=

10

5

，即得直线AB₁与平面AC₁D所成角的正弦值．

解答：解：（I）连结A₁C交AC₁于点O，连结OD
∵四边形AA₁C₁C为平行四边形，∴O为A₁C的中点，
∵D为BC的中点，∴OD是△A₁BC的中位线，可得A₁B∥OD，
∵OD?平面AC₁D，A₁B?平面AC₁D，
∴A₁B∥平面AC₁D；
（II）∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BB₁⊥平面ABC，
AD?平面ABC，
∴BB₁⊥AD，
∵△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，
∵BC、BB₁是平面BB₁C₁C内的相交直线，∴AD⊥平面BB₁C₁C，
∵CE?平面BB₁C₁C，∴AD⊥CE，
∵正方形BB₁C₁C中，D、E分别为BC、BB₁的中点，
∴Rt△CBE≌Rt△C₁CD，∠CC₁D=∠BCE，可得∠BCE+∠C₁DC=90°，得C₁D⊥CE，
∵AD、C₁D是平面AC₁D内的相交直线，∴CE⊥平面AC₁D；
（III）取C₁C的中点N，连结B₁N交C₁D于点M，
∵CN

∥

.

B₁E，∴四边形CNB₁E为平行四边形，可得CE∥B₁N，
∵CE⊥平面AC₁D，∴B₁N⊥平面AC₁D，
连结AM，可得AM是AB₁在平面AC₁D内的射影，
∴∠B₁AM就是直线AB₁与平面AC₁D所成的角．
设CE∩C₁D=F，在Rt△C₁CD中，CC₁•DC=C₁D•CF，可得CF=

2 5

5

．
又∵MN

∥

.

1

2

CF，∴MN=

5

5

，可得B₁M=

4 5

5

，
∵Rt△B₁AM中，B₁A=2

2

，∴sin∠B₁AM=

B1M

AB1

=

10

5

，
由此可得AB₁与平面AC₁D所成角的正弦值为

10

5

．

点评：本题在特殊的正三棱柱中证明线面平行、线面垂直，并求直线与平面所成角．着重考查了空间平行、垂直位置关系的判断与证明和直线与平面所成角的定义及求法等知识，属于中档题．