Question

已知O为坐标原点，

OM

=(-1，1)，

ON

=(4，-4)，集合A={

OR

||

RN

|=2}，

OP

∈A且

MP

•

NP

=0，则|

MP

|=

46

．

Answer 1

分析：设R（x，y），则

RN

可得=

ON

-

OR

=（4-x，-4-y），由|

RN

|=2可得R的轨迹是以（4，-4）为圆心，以2为半径的圆，结合已知

OP

∈A可知P在圆（x-4）²+（y+4）²=4上，结合

MP

•

NP

=0，可知MP为圆的切线，由|

MP

|=

MN2-NP2

可求

解答：解：设R（x，y），则

OR

=(x，y)
则

RN

=

ON

-

OR

=（4-x，-4-y）
∴|

RN

|=

(4-x)2+(-4-y)2

=2
∴（x-4）²+（y+4）²=4，即点R的轨迹是以（4，-4）为圆心，以2为半径的圆
∵

OP

∈A
∴P在圆（x-4）²+（y+4）²=4上，设P（a，b），则（a-4）²+（b+4）²=4①
∵

MP

•

NP

=0，
∴MP为圆的切线，|MN|=

(-1-4)2+(1+4)2

=

50

，NP=2
|

MP

|=

MN2-NP2

=

50-4

=

46

故答案为：

46

点评：本题主要考查了向量的基本运算的简单应用，点的轨迹方程的求解，圆的切线性质的应用，把所求的MP转化为|

MP

|=

MN2-NP2

是解答本题的关键