题目内容
定义在R上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x＞0时，f(x)＞1，且对任意的a、b∈R，有f(a+b)=f(a)·f(b).(1)求f(0)；
(2)证明对任意的x∈R，恒有f(x)＞0；
(3)判断函数y=f(x)的单调性.
思路分析：本题抽象函数的原型函数即为指数函数，可借助y=2x分析理清解答的思路和方法.(1)利用赋值法求f(0)；(2)只需证明当x＜0时，f(x)＞0；(3)利用定义法判断单调性.
(1)解：取a=b=0，则f(0)=f(0)·f(0).
∵f(0)≠0，∴f(0)=1.
(2)证明：当x≥0时，f(x)≥1＞0成立，
当x＜0时，-x＞0，f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)=1，
∴f(x)=
＞0.∴x∈R时，恒有f(x)＞0.
(3)解：设x1＜x2，则x2-x1＞0.
∴f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)·f(x1).
∴
=f(x2-x1).
∵x2-x1＞0，∴f(x2-x1)＞1.
又f(x1)＞0，f(x2)＞0，
∴f(x1)＜f(x2).
∴f(x)在R上是增函数.
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