Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PB⊥底面ABCD．底面ABCD为直角梯形，∠ABC=90°，AD∥BC，AB=AD=PB，BC=2AD．点E在棱PA上，且PE=2EA．
（I）求证：CD⊥平面PBD；
（II）求二面角A-BE-D的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲证CD⊥平面PAC，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证CD与平面PAC内两相交直线垂直，根据PB⊥底面ABCD，则PB⊥CD，利用勾股定理可知BD⊥CD，PB∩BC=B，满足定理条件；
（Ⅱ）先求平面EBD的法向量与平面ABE的法向量，然后利用向量的夹角公式求出此角的余弦值即二面角A-BE-D的大小的余弦值．

解答：解：（Ⅰ）证明：因为PB⊥底面ABCD．底面ABCD为直角梯形，∠ABC=90°，所以AB⊥BC．
PB⊥底面ABCD．
而CD?底面ABCD，所以PB⊥CD．
在底面ABCD中，因为∠ABC=∠BAD=90°，AB=AD=

1

2

BC，
所以BD=CD=

2

2

BC，所以BD⊥CD．
又因为PB∩BD=B，所以CD⊥平面PAC
（3）解：设平面EBD的法向量为

n

=（x，y，1），B（0，0，0），E(0，

2

3

.

1

3

)，

BE

=(0，

2

3

.

1

3

)，D（1，1，0），

BD

=(1，1，0)
则

BE • n =0 BD • n =0

，即

2 3 y+ 1 3 =0 x+y=0

，

n

=(

1

2

，-

1

2

，1)
又∵平面ABE的法向量为

m

=（0，1，0），
∴cos＜

n

，

m

＞=

n • m

| n || m |

=

6

6

．
即二面角A-BE-D的大小的余弦值为

6

6

．

点评：本题主要考查直线与平面的位置关系、两异面直线所成角、二面角及其平面角等有关知识，考查空间想象能力和思维能力，应用向量知识解决立体几何问题的能力