Question

已知函数f（x）=

sinx

3 cosx

-x（0＜x＜

π

2

）；
（1）讨论函数f（x）的单调性并求极值；
（2）若x∈（0，

π

2

]，求g（x）=

1

sin2x

-

1

x2

的最大值．

Answer 1

分析：（1）用求导法则，得到函数的导数f′（x），采用换元法：设t=

3	cosx

，讨论f′（x）的单调性，得到导数f′（x）的最小值为正数，故函数在定义域内为增函数，不存在极值；
（2）由（1）可知在区间(0，

π

2

)上有f（x）＞f（0）=0，即f（x）＞0，根据这一结论变形可得sin³x＞x³cosx，从而证出g′(x)=-

2cosx

sin3x

+

2

x3

=

2(sin3x-x3cosx)

x3sin3x

＞0，在区间（0，

π

2

]上g（x）为单调增函数，从而函数g（x）的最大值为g(

π

2

) =1-

4

π2

．

解答：解：（1）∵f′（x）=

cosx3 cosx -sinx -sinx 3 3 cos2x

3 cos2x

-1=

3cos2x+sin2x

3cosx 3 cosx

-1…（2分）
=

2cosx 2+1

3cosx 3 cosx

-1
换元：设t=

3	cosx

，x∈（0，

π

2

），可得t∈（0，1），
∴f′（x）=

2t 6-3t 4+1

3t 4

令h（t）=2t⁶-3t⁴+1，则h/（t）=12t⁵-12t³=12t3（t²-1）＜0在t∈（0，1）时恒成立
所以h（t）在（0，1）上为单调减函数，
∴h(t)＞g(1)=0，即h(t)＞0
∵f′(x)=

2cos2x+1

3cosx 3 cosx

-1＞0∴函数f(x)在区间(0，

π

2

)上是单调递增的函数f(x)在区间(0，

π

2

)上没有极值．…（8分）
（2）由（1）可知在区间(0，

π

2

)上有f（x）＞f（0）=0，
即f（x）＞0；∴

sinx

3 cosx

-x＞0，
∴sinx＞x

3	cosx

进而sin3x＞x3cosx…（10分）
∵0＜x＜

π

2

∴g′(x)=-

2cosx

sin3x

+

2

x3

=

2(sin3x-x3cosx)

x3sin3x

＞0∴g(x)在区间(0，

π

2

]上单调递增，
函数g（x）的最大值为g(

π

2

) =1-

4

π2

．

点评：本题主要考查利用导数求函数的极值，考查方程根的讨论，属于中档题．着重考查了利用导数研究函数的单调性与极值，以及函数的零点和函数在某点取得极值的条件．