Question

如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F₁，F₂为顶点的三角形的周长为．一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF₁和PF₂与椭圆的交点分别为A、B和C、D．
（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；
（Ⅱ）设直线PF₁、PF₂的斜率分别为k₁、k₂，证明k₁•k₂=1；
（Ⅲ）是否存在常数λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由题意知，椭圆离心率为=，及椭圆的定义得到又2a+2c=，解方程组即可求得椭圆的方程，等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点可求得该双曲线的方程；
（Ⅱ）设点P（x，y），根据斜率公式求得k₁、k₂，把点P（x，y）在双曲线上，即可证明结果；
（Ⅲ）设直线AB的方程为y=k（x+2），则可求出直线CD的方程为y=（x-2），联立直线和椭圆方程，利用韦达定理，即可求得|AB|，|CD|，代入|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|，求得λ的值．
解答：解：（Ⅰ）由题意知，椭圆离心率为=，
得，又2a+2c=，
所以可解得，c=2，所以b²=a²-c²=4，
所以椭圆的标准方程为；
所以椭圆的焦点坐标为（±2，0），
因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，
所以该双曲线的标准方程为．
（Ⅱ）设点P（x，y），
则k₁=，k₂=，
∴k₁•k₂==，
又点P（x，y）在双曲线上，
∴，即y²=x²-4，
∴k₁•k₂==1．
（Ⅲ）假设存在常数λ，使得得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立，
则由（II）知k₁•k₂=1，
∴设直线AB的方程为y=k（x+2），则直线CD的方程为y=（x-2），
由方程组消y得：（2k²+1）x²+8k²x+8k²-8=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则由韦达定理得，，
∴AB==，
同理可得CD===，
∵|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|，
∴λ==-==，
∴存在常数λ=，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立．
点评：本题考查了椭圆的定义、离心率、椭圆与双曲线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力．其中问题（III）是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．