题目内容
若随机事件A在1次试验中发生的概率为p(0＜p＜1)，用随机变量X表示A在1次试验中发生的次数.(1)求方差DX的最大值.
(2)求
的最大值.
分析：利用二次函数及均值不等式求最值.
解：随机变量X的所有可能取值为0，1，并且有P（X=1）=p，P（X=0）=1-p.
从而EX=0·（1-p）+1·p=p,
DX=（0-p）2（1-p）+（1-p）2p=p-p2.
（1）DX=p-p2=-（p2-p+）+
=-（p-
）2+
.
∵0＜p＜1,
∴当p=
时，DX取得最大值
.
(2)
.
∵0＜p＜1,
∴2p+
≥
.
当且仅当2p=
时，即p=
时取“=”.
因此，当p=
时，
取得最大值2-2
.
绿色通道:显然随机事件A服从两点分布，易求得EX和DX，求DX的最大值用二次函数，求
的最大值则用均值不等式.
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（本小题满分12分）
一个不透明的袋子中装有4个形状相同的小球，分别标有不同的数字2，3，4，
，现从袋中随机摸出2个球，并计算摸出的这2个球上的数字之和，记录后将小球放回袋中搅匀，进行重复试验。记A事件为“数字之和为7”.试验数据如下表
|
摸球总次数 |
10 |
20 |
30 |
60 |
90 |
120 |
180 |
240 |
330 |
450 |
|
“和为7”出现的频数 |
1 |
9 |
14 |
24 |
26 |
37 |
58 |
82 |
109 |
150 |
|
“和为7”出现的频率 |
0.10 |
0.45 |
0.47 |
0.40 |
0.29 |
0.31 |
0.32 |
0.34 |
0.33 |
0.33 |
（参考数据：
）
（Ⅰ）如果试验继续下去，根据上表数据，出现“数字之和为7”的频率将稳定在它的概率附近。试估计“出现数字之和为7”的概率，并求的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设定一种游戏规则：每次摸2球，若数字和为7，则可获得奖金7元，否则需交5元。某人摸球3次，设其获利金额为随机变量
元，求的数学期望和方差。