Question

已知函数y=f（x）是R上的奇函数，当x≤0时，，
（1）判断并证明y=f（x）在（-∞，0）上的单调性；
（2）求y=f（x）的值域；
（3）求不等式的解集．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用函数单调性的定义，设x₁＜x₂＜0，通过作差，变形，判号证明f（x₁）＜f（x₂），即可
（2）当x≤0时f（x）=，运用均值定理，先求出当x≤0时函数f（x）的值域，再利用对称性得y=f（x）的值域
（3）由（2）知，不等式?，将f（x）中的3^x看成整体，转化为一元二次方程求解，再解指数不等式即可得所求解集
解答：解：（1）设x₁＜x₂＜0，则，
∵，
∴f（x₁）＜f（x₂），即y=f（x）在（-∞，0）上是增函数．   
（2）∵，
∴当x≤0时，；             
∵当x＞0时，．       
综上得 y=f（x）的值域为 ．            
（3）∵，
又∵，∴，此时单调递增，
∵，∴时，x＞1⇒3^x＞3．
令，
即，
∴不等式的解集是．
点评：本题考查了函数奇偶性与单调性的定义及运用，利用函数的单调性和对称性解不等式、求值域的方法，解题时要特别利用对称性，提高解题速度