Question

等差数列{a_n}的前n项和为S_n，公差d＜0．若存在正整数m（m≥3），使得a_m=S_m，则“n＞m（n∈N^*）”是“S_n＜a_n”的（　　）

A．既不充分也不必要条件

B．充分不必要条件

C．必要不充分条件

D．充要条件

Answer 1

分析：列举出S_m的各项，根据a_m=S_m得到前m-1项的和为0，再由公差d小于0，得到第m+1项到第n项都为小于0，即可得到前n项的和小于第n项，以上的过程可逆，所以得到原题的条件为充要条件．

解答：解：由a_m=S_m=a₁+a₂+…+a_m-1+a_m
?S_m-1=0，
?由d＜0，a_m＜0，a_n＜0，且a_m，a_m+1，…，a_n各项都小于0，
?S_n=a₁+a₂+…+a_m-1+a_m+…+a_n=a_m+a_m+1+…+a_n＜a_n．
“n＞m（n∈N^*）”是“S_n＜a_n”的充要条件．
故选D

点评：此题考查学生掌握等差数列的性质，会进行充要条件的证明，是一道中档题．