题目内容
已知椭圆
+
=1(a＞b＞0)与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，原点O到直线AB的距离为
，该椭圆的离心率为
．
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在过点P(0，
)的直线l与椭圆交于M，N两个不同的点，有
=2
成立？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
2
| ||
| 5 |
| ||
| 2 |
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在过点P(0，
| 5 |
| 3 |
| PM |
| PN |
分析：解：（1）由题意可得直线AB的方程为
+
=1，即bx+ay-ab=0，利用点到直线的距离公式可得
=
，又
=
．及a2=b2+c2联立即可解得．
（2）当直线l的斜率不存在时，可得M（0，-1），N（0，1），直接验证即可．
当直线l的斜率不在时，设y=kx+
，与椭圆的方程联立，可得△＞0，及其根与系数的关系．再利用
=2
，即可解得k．
| x |
| a |
| y |
| b |
| |ab| | ||
|
2
| ||
| 5 |
| c |
| a |
| ||
| 2 |
（2）当直线l的斜率不存在时，可得M（0，-1），N（0，1），直接验证即可．
当直线l的斜率不在时，设y=kx+
| 5 |
| 3 |
| PM |
| PN |
解答：解：（1）由题意可得直线AB的方程为
+
=1，即bx+ay-ab=0，
∵原点O到直线AB的距离为
，∴
=
，又
=
．
联立
，解得
，
∴椭圆的方程为
+y2=1；
（2）当直线l的斜率不存在时，M（0，-1），N（0，1），不满足
=2
，舍去．
当直线l的斜率不在时，设y=kx+
，联立
，化为（9+36k2）x2+120kx+64=0，
∵直线l与椭圆有两个交点，∴△＞0，化为k2＞
．设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=
，x1x2=
．
若
=2
，则x1=2x2．联立
，解得k2=
＞
．
解得k=±
．
综上可得：所求直线l的方程为y=±
x+
．
| x |
| a |
| y |
| b |
∵原点O到直线AB的距离为
2
| ||
| 5 |
| |ab| | ||
|
2
| ||
| 5 |
| c |
| a |
| ||
| 2 |
联立
|
|
∴椭圆的方程为
| x2 |
| 4 |
（2）当直线l的斜率不存在时，M（0，-1），N（0，1），不满足
| PM |
| PN |
当直线l的斜率不在时，设y=kx+
| 5 |
| 3 |
|
∵直线l与椭圆有两个交点，∴△＞0，化为k2＞
| 4 |
| 9 |
| -40k |
| 3+12k2 |
| 64 |
| 9+36k2 |
若
| PM |
| PN |
|
| 9 |
| 14 |
| 4 |
| 9 |
解得k=±
3
| ||
| 14 |
综上可得：所求直线l的方程为y=±
3
| ||
| 14 |
| 5 |
| 3 |
点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到△＞0及根与系数的关系、向量相等等基础知识与基本技能方法，属于难题．
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