Question

已知A、B、C为三角形ABC的三内角，其对应边分别为a，b，c，若有2acosC=2b+c成立．
（1）求A的大小；
（2）若a=2

3

，b+c=4，求三角形ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）利用正弦定理化简已知等式，再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式得到关系式，联立后根据sinC不为0求出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；
（2）利用余弦定理列出关系式，将a，b+c及cosA的值代入求出bc的值，由sinA与bc的值，利用三角形的面积公式求出即可．

解答：解：（1）∵2acosC=2b+c，由正弦定理可知2sinAcosC=2sinB+sinC，①
三角形中有：sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，②
联立①②可化简得：2cosAsinC+sinC=0，
在三角形中sinC≠0，得cosA=-

1

2

，
又0＜A＜π，
∴A=

2π

3

；
（2）由余弦定理a²=b²+c²-2bc•cosA，得（2

3

）²=（b+c）²-2bc-2bccos

2π

3

，即12=16-2bc+bc，
解得：bc=4，
则S_△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

×4×

3

2

=

3

．

点评：此题考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．