Question

【题目】如图，在棱长为的正方体中，，，分别是棱、和所在直线上的动点：

（1）求的取值范围：

（2）若为面内的一点，且，，求的余弦值：

（3）若、分别是所在正方形棱的中点，试问在棱上能否找到一点，使平面?若能，试确定点的位置，若不能，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）点M为的中点，理由见解析

【解析】

（1）设，求出，利用余弦定理求解，然后求出的取值范围．
（2）设在，三边上的投影分别是，转化求出，即可得到它的余弦值．
（3）设与的交点为，连接，说明平面，过作于K，延长后交所在的直线于点M，则BM⊥平面．通过，求解即可．

解：（1）设，

则，
所以，
的取值范围为；
（2）解：设在，三边上的投影分别是，，，

则由于，

．
，
，

即，它的余弦值为
（3）解：设与的交点为．连接，

则由以及，知平面，
于是面面，在面内过作于K，延长后交所在的直线于点M，则BM⊥平面，

在平面内，由，
知，又，

∴．
这说明点M为的中点．