Question

（本小题满分12分）

设函数，且（为自然对数的底数）.

（1）求实数与的关系；

（2）若函数在其定义域内为单调函数，求实数的取值范围；

（3）设，若存在，使得成立，求实数的取值范围.

Answer 1

答案

令，要使在其定义域内为单调函数，只需在内满足或恒成立.

（1）当时，，.

在内为单调减函数，故符合条件. ……………………………3分

（2）当时，.只需，即时，

此时.在内为单调增函数，故符合条件.  …………5分

（3）当时，.只需，此时.

在内为单调减函数，故符合条件.

综上可得, 或为所求.  ……………………………………………………6分

（3）在上是减函数，时，；时，.

即.

（1）当时，由（1）知，在上递减，，不合题意. 8分

（2）当时，由知，

..

由（Ⅱ）知，当时，单调递增，

，不合题意. ………10分

（3）当时，由（Ⅱ）知在上递增，，

又在在上递减，.

即，.综上，的取值范围是.……12分