Question

设函数
(Ⅰ) 求证：为奇函数的充要条件是；
(Ⅱ) 设常数，且对任意恒成立，求实数a的取值范围。

Answer 1

（Ⅰ）同解析；（Ⅱ）当的取值范围是；当的取值范围是

（I）充分性：若
，对一切x∈R恒成立，
是奇函数
必要性：若是奇函数，则对一切x∈R，恒成立，即

令 
再令 
（II）取任意实数不等式恒成立，
故考虑

对（1）式，由b < 0时，在为增函数，

                      （3）
对（2）式，当
当
                    （4）
由（3）、（4），要使a存在，必须有
∴当 
当为减函数，（证明略）

综上所述，当的取值范围是；
当的取值范围是
解法二：
由于b是负数，故
（1），
则
其中（1），（3）显然成立，由（2），得（*）
（2），
①
综合（*），得值不存在
②
综合（*），得 
③
综合（*），得不存在
综上，得