Question

【题目】设函数在区间上的最小值为.

（1）求；

（2）若在上恒成立，求实数的取值范围；

（3）当 时，求满足的的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）详见解析;（Ⅱ）;（Ⅲ）.

【解析】试题分析：（1）由对称轴的位置，分类讨论得；（2），得在上恒成立，所以；（3）因为时， ， 时， ，所以即设，讨论单调性知函数在上单调递减，所以的取值范围是.

试题解析：

.解法一：（Ⅰ）由题意知，函数的图像为开口向上的抛物线，且对称轴为，

当时，函数在单调递增，则，

当时，函数在单调递减，在单调递增，则，

所以，

（Ⅱ），

，即在上恒成立，

设， ，则

,,又,

,即

函数在上单调递减,

,.

（Ⅲ）时， ， 时， ，

∴即

设，则其定义域为

设，易得该函数在上单调递减，

设，由知，该函数也在上单调递减，

由上可知函数在上单调递减，

又

所以

即满足条件的的取值范围为.

解法二：（Ⅰ）同法一

（Ⅱ）因为所以，

由，得，

设,题意等价于：

，即

解得：

（Ⅲ）时， , 时，

∴即

,即,

设其对称轴,开口向下，

所以在单调递增，

设 在单调递减，且，

所以，满足条件的的取值范围为.