Question

已知A、B、C三点不共线，点O为平面ABC外的一点，则下列条件中，能得到M∈平面ABC的充分条件是（　　）

• A．

  OM

  =

  1

  2

  OA

  +

  1

  2

  OB

  +

  1

  2

  OC

• B．

  OM

  =

  1

  3

  OA

  -

  1

  3

  OB

  +

  OC

• C．

  OM

  =

  OA

  +

  OB

  +

  OC

• D．

  OM

  =2

  OA

  -

  OB

  -

  OC

Answer 1

分析：在空间，点M在平面ABC内的充要条件是存在α、β、γ，使

OM

=α

OA

+β

OB

+β

OC

且α+β+γ=1．由此公式不难判断哪一项是符合题意的选项．

解答：解：对于B项，∵

OM

=

1

3

OA

-

1

3

OB

+

OC

，
∴

OM

-

OC

=

1

3

(

OA

-

OB

)，可得

CM

=

1

3

BA

，
即直线CM与AB互相平行，故点M在平面ABC内
又∵A项

OM

=

1

2

OA

+

1

2

OB

+

1

2

OC

，且

1

2

+

1

2

+

1

2

=

3

2

≠1
∴A项中的M点不在平面ABC内．同理可得C、D中的M点均不在平面ABC内
故选B

点评：本题给出关于向量

OM

的几个线性表达式，叫我们判断能使点M∈平面ABC的充分条件，着重考查了利用空间向量判断四点共面的方法，属于基础题．