Question

已知函数f（x）=2cosx（sinx+cosx）-1，x∈R
（1）求函数f（x）的最小正周期；        
（2）求函数f（x）在区间[-

π

4

，

π

4

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）函数f（x）解析式去括号后利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出最小正周期；
（2）根据x的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的值域即可确定出f（x）的值域，进而求出f（x）的最小值与最大值．

解答：解：（1）f（x）=2cosx（sinx+cosx）-1=2sinxcosx+2cos²x-1=sin2x+cos2x=

2

sin（2x+

π

4

），
∵ω=2，∴f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π；
（2）∵x∈[-

π

4

，

π

4

]，∴2x+

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]，
∴sin（2x+

π

4

）∈[-

2

2

，1]，
当2x+

π

4

=-

π

4

，即x=-

π

4

时，f（x）_min=-1
当2x+

π

4

=

π

2

，即x=

π

8

时，f（x）_min=

2

，
则函数f（x）在区间[-

π

4

，

π

4

]上的最大值为

2

，最小值为-1．

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．