题目内容
如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD，AB=
AD，E是线段PD上的点，F是线段AB上的点，且
（1）判断EF与平面PBC的关系，并证明；
（2）当λ为何值时，DF⊥平面PAC？并证明．
AD，E是线段PD上的点，F是线段AB上的点，且（1）判断EF与平面PBC的关系，并证明；
（2）当λ为何值时，DF⊥平面PAC？并证明．
解：（1）作FG∥BC交CD于G，连接EG，
则
，
，
∴
，
∴PC∥EG．
又FG∥BC，BC∩PC=C，FG∩GE=G，
∴平面PBC∥平面EFG．又EF
平面PBC，
∴EF∥平面PBC．
（2）当λ=1时，DF⊥平面PAC．
证明如下：∵λ=1，则F为AB的中点，
又AB=
AD，AF= 
，
∴在 Rt△FAD 与 Rt△ACD中，
，
∴∠AFD=∠CAD，
∴AC⊥DF，
又PA⊥平面ABCD，DF
平面ABCD，
∴PA⊥DF，∴DF⊥平面PAC．
则
， ，∴
， ∴PC∥EG．
又FG∥BC，BC∩PC=C，FG∩GE=G，
∴平面PBC∥平面EFG．又EF
平面PBC， ∴EF∥平面PBC．
（2）当λ=1时，DF⊥平面PAC．
证明如下：∵λ=1，则F为AB的中点，
又AB=
AD，AF= ， ∴在 Rt△FAD 与 Rt△ACD中，
，∴∠AFD=∠CAD，
∴AC⊥DF，
又PA⊥平面ABCD，DF
平面ABCD，∴PA⊥DF，∴DF⊥平面PAC．
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