Question

已知函数f(x)=2ax-

b

x

+lnx在x=1和x=

1

2

处取得极值．
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间[

1

4

，2]上存在x₀，使得不等式f（x₀）-c≤0成立，求实数c的最小值．（参考数据e²≈7.389，e³≈20.08）

Answer 1

分析：（I）由已知中函数f(x)=2ax-

b

x

+lnx在x=1和x=

1

2

处取得极值，我们求出函数的导函数f′（x）的解析式，易得

f′(1)=2a+b+1=0 f′( 1 2 )=2a+4b+2=0

，解方程组，即可得到实数a，b的值；
（Ⅱ）函数f（x）在区间[

1

4

，2]上存在x₀，使得不等式f（x₀）-c≤0成立，表示函数f（x）在区间[

1

4

，2]上的最小值小于等于c，根据（1）中函数的解析式，求出函数f（x）在区间[

1

4

，2]上的最小值，即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）函数f（x）定义域为（0，+∞）f′(x)=2a+

b

x2

+

1

x

…（2分）
依题意得，

f′(1)=2a+b+1=0 f′( 1 2 )=2a+4b+2=0

，解得，

a=- 1 3 b=- 1 3

故所求a，b的值为a=b=-

1

3

…（5分）
（Ⅱ）在[

1

4

，2]上存在x₀，使不等式f（x₀）-c≤0成立，只需c≥[f（x₀）]_min
由（Ⅰ）知f′(x)=-

2

3

x-

1

3x2

+

1

x

=-

(2x-1)(x-1)

3x2

当x∈[

1

4

，

1

2

]时，f′（x）＜0，故函数f（x）在[

1

4

，

1

2

]上单调递减，
当x∈[

1

2

，1]时，f′（x）＞0，故函数f（x）在[

1

2

，1]上单调递增，
当x∈[1，2]时，f′（x）＜0，故函数f（x）在[

1

4

，

1

2

]上单调递减…（7分）
∴f(

1

2

)=

1

3

-ln2是f（x）在[

1

4

，2]上的极小值，且函数f（x）的最小值必是f(

1

2

)，f(2)两者中较小的…（8分）
而f(2)=-

7

6

+ln2，f(

1

2

)-f(2)=

3

2

-ln4=lne

3

2

-ln4=

1

2

ln

e3

16

∵e³≈20.08＞16，f(

1

2

)-f(2)＞0∴[f(x)]min=f(2)=-

7

6

+ln2…（9分）∴c≥[f(x)]min=-

7

6

+ln2
所以，实数c的最小值为-

7

6

+ln2．…（10分）

点评：本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件，利用导数求闭区间上的函数的最值，其中根据已知中函数f(x)=2ax-

b

x

+lnx在x=1和x=

1

2

处取得极值，构造关于a，b的方程，确定出函数f（x）的解析式，是解答本题的关键．