Question

直线Ax+By+C=0与⊙O：x²+y²=4相交于M，N两点，若C²=A²+B²，则

OM

•

ON

（O为坐标原点）等于

-2

．

Answer 1

分析：设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．当B≠0时，直线方程与圆的方程联立并利用A²+B²=C²．可得根与系数的关系，利用

OM

•

ON

=x₁x₂+y₁y₂即可得出．当B=0时，A≠0，C=±A，直线化为y=±x，联立

y=x x2+y2=4

，解得即可

OM

•

ON

．

解答：解：设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
当B≠0时，联立

Ax+By+C=0 x2+y2=4

，A²+B²=C²．
化为C²x²+2ACx+C²-4B²=0，
∴x1+x2=-

2A

C

，x1x2=

C2-4B2

C2

．
∵y₁y₂=

(Ax1+C)(Ax2+C)

B2

=

A2x1x2+AC(x1+x2)+C2

B2

．
∴

OM

•

ON

=x₁x₂+y₁y₂=

B2x1x2+A2x1x2+AC(x1+x2)+C2

B2

=

C2× C2-4B2 C2 +AC•(- 2A C )+C2

B2

=-2．
当B=0时，A≠0，C=±A，直线化为y=±x，联立

y=x x2+y2=4

，解得x=y=

2

或-

2

．
此时

OM

•

ON

=-2．
综上可知：

OM

•

ON

=-2．
故答案为-2．

点评：本题考查了直线与圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、数量积运算、分类讨论等基础知识与基本技能方法，属于中档题．