Question

已知直线l:x=m(m＜-2)与x轴交于A点,动圆M与直线l相切,并且与圆O:x²+y²=4相外切.

(1)求动圆的圆心M的轨迹方程;

(2)若过原点且倾斜角为的直线与曲线C交于M、N两点,问是否存在以MN为直径的圆经过点A?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.

Answer 1

解:(1)设动圆圆心M(x,y),则=2+x-m,

得y²=(4-2m)x+(2-m)²(m＜-2),

即为曲线C的方程.

(2)直线MN的方程为y=x,代入曲线C的方程可得

3x²-2(2-m)x-(2-m)²=0,

显然Δ＞0.

假设存在这样的M、N.

设M(x₁,y₁)、N(x₂,y₂),

则

从而y₁y₂=x₁·x₂=3x₁x₂.

若以MN为直径的圆过点A,则AM⊥AN.

∴k_AM·k_AN=-1,

4x₁x₂-m(x₁+x₂)+m²=0.

∴-(2-m)²-m·(2-m)+m²=0,

即m²+12m-16=0.

解得m₁=-6-2,m₂=-6+2(舍).

因此,存在m=-6-2适合题设.