Question

（2011•通州区一模）如图．四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PA⊥底面ABCD．PA=AD=1，AB=

2

．M，N分别为AB、PC的中点．
（I）求证：MN∥平面PAD；
（II）求证：MN⊥平面PCD；
（III） 求平面DMN与平面DPA所成锐二面角的度数．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要证明线面平行，需要设法在平面PAD内找到与MN平行的直线，因为给出的M，N分别是DC和PB的中点，所以可取CD的中点，通过证明两个平面平行得到线面平行；
（Ⅱ）证明MN⊥平面PCD，可利用线面垂直的判定定理，容易证明MN与CD垂直，再通过解三角形得到PM=MC，从而证得MN垂直于PC，直接由线面垂直的判定定理得到结论；
（Ⅲ）以A为坐标原点建立空间坐标系，利用平面法向量所称的角求解二面角的平面角．

解答：（Ⅰ）证明：如图，
取CD的中点E，连结ME，连结AC，ME∩AC=F，所以F为AC的中点，连结NF，
∵M、E分别为AB、CD的中点，∴ME∥AD，AD?面PAD，
∴ME∥面PAD，F、N分别为AC、PC的中点，∴FN∥PA，PA?面PAD，∴FN∥面PAD．
又ME∩FN=F，∴面MEN∥面PAD．∴MN∥平面PAD； 
（Ⅱ）证明：∵PA⊥底面ABCD，FN∥PA，∴FN⊥底面ABCD，则FN⊥CD，又CD⊥ME，
∴CD⊥面MEN，∴CD⊥MN．
在Rt△PAM和Rt△MBC中，由勾股定理可得PM=MC，又N是PC的中点，∴MN⊥PC，
又PC∩CD=C．∴MN⊥平面PCD；
（Ⅲ）解：以A为坐标原点，以AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
则M(

2

2

，0，0)，D（0，1，0），N(

2

2

，

1

2

，

1

2

)．

DM

=(

2

2

，-1，0)，

MN

=(0，

1

2

，

1

2

)．
设平面DMN的一个法向量为

m

=(x，y，z)．
由

m • DM =0 m • MN =0

，得

2 2 x-y=0 1 2 y+ 1 2 z=0

，取z=-1，得y=1，x=

2

，
∴

m

=(

2

，1，-1)．
又平面DPA的一个法向量

n

=(1，0，0)．
∴平面DMN与平面DPA所成锐二面角的余弦值cosθ=

m • n

| m |•| n |

=

2

( 2 )2+12+(-1)2

=

2

2

．
∴平面DMN与平面DPA所成锐二面角的度数为45°．

点评：本题考查了直线与平面平行的判定，考查了直线与平面垂直的判定，考查了利用空间向量求二面角的平面角，综合考查了学生的空间想象能力和思维能力，解答的关键是分清二面角两个面的法向量所成的角与二面角的大小之间的关系，是中档题．