Question

已知数列{a_n}为等差数列．
（1）若a₁=3，公差d=1，且a₁²+a₂+a₃+…+a_m≤48，求m的最大值；
（2）对于给定的正整数m，若a₁²+a_m+1²=1，求S=a_m+1+a_m+2+…+a_2m+1的最大值．

Answer 1

（1）由a₁²+a₂+a₃+…+a_m≤48，
可得：a₁²-a₁+a₁+a₂+a₃+…+a_m≤48，
又a₁=3，d=1，可得：6+3m+

m(m-1)

2

≤48．（4分）
整理得：m²+5m-84≤0，
解得-12≤m≤7，即m的最大值为7．（6分）
（2）S=am+1+am+2+…+a2m+1=

(m+1)(am+1+a2m+1)

2

（8分）
设a_m+1+a_2m+1=A，
则A=a_m+1+a_2m+1+a₁-a₁=a_m+1+2a_m+1-a₁=3a_m+1-a₁．
则am+1=

A+a1

3

，由

a

21

+(

A+a1

3

)2=1，可得：10a₁²+2Aa₁+A²-9=0，（10分）
由△=4A²-40（A²-9）≥0，可得：-

10

≤A≤

10

．（12分）
所以S=

(m+1)(am+1+a2m+1)

2

=

(m+1)A

2

≤

10 (m+1)

2

．（14分）