题目内容

已知椭圆 $数学公式$ 过点 $数学公式$ ，且离心率e= $数学公式$ ．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过定点 $数学公式$ ，求k的取值范围．

解：（Ⅰ）由题意椭圆的离心率∴ $\text{[math]}$ ∴a=2c∴b²=a²-c²=3c²
∴椭圆方程为 $\text{[math]}$ 又点 $\text{[math]}$ 在椭圆上∴ $\text{[math]}$ ∴c²=1
∴椭圆的方程为 $\text{[math]}$ …（4分）
（Ⅱ）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）由 $\text{[math]}$
消去y并整理得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0…（6分）
∵直线y=kx+m与椭圆有两个交点△=（8km）²-4（3+4k²）（4m²-12）＞0，即m²＜4k²+3…（8分）
又 $\text{[math]}$ ∴MN中点P的坐标为 $\text{[math]}$ …（9分）
设MN的垂直平分线l'方程： $\text{[math]}$
∵p在l'上∴ $\text{[math]}$ 即4k²+8km+3=0
∴ $\text{[math]}$ …（11分）
将上式代入得 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
即 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，∴k的取值范围为 $\text{[math]}$
分析：（Ⅰ）由题意知椭圆的离心率 $\text{[math]}$ ，故椭圆方程为 $\text{[math]}$ ，又点 $\text{[math]}$ 在椭圆上，由此能导出椭圆的方程．
（Ⅱ）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由 $\text{[math]}$ ，消去y并整理得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，由直线y=kx+m与椭圆有两个交点，知m²＜4k²+3．又 $\text{[math]}$ ，知MN中点P的坐标为 $\text{[math]}$ ，由此能求出k的范围．
点评：本题考查椭圆方程和k的取值范围，解题时要认真审题，仔细解答，注意椭圆的灵活运用，合理地进行等价转化．