题目内容

已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的焦点分别是F1，F2，点M(1 ，
3
2
)在椭圆上，且|MF1|+|MF2|=4．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+t（k≠0，t＞0）与椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1交于A，B两点，点P满足
AP
+
BP
=
0
，点Q的坐标是(0 ，
3
2
)，设直线PQ的斜率是k1，且k1•k=2，求实数t的取值范围．
（Ⅰ）因为点M(1 ，
3
2
)在椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上，且|MF1|+|MF2|=4，
所以
1
a2
+
3
4b2
=1，2a=4．
所以a2=4，b2=1．
所以椭圆C的标准方程是
x2
4
+y2=1．…..（3分）
（Ⅱ）联立方程组
y=kx+t 
x2
4
+y2=1 
消去y，得（1+4k2）x2+8ktx+4（t2-1）=0．
所以△=64k2t2-16（1+4k2）（t2-1）＞0，…..（4分）
即1+4k2＞t2．①…..（5分）
设A（x1，y1），B（x2，y2），所以x1+x2=
-8kt
1+4k2
．…..（6分）
因为
AP
+
BP
=
0
，所以点P是AB的中点，
设P（xP，yP），所以xp=
-4kt
1+4k2
，yp=kxP+t=
1
1+4k2
．…..（8分）
因为点Q的坐标是(0 ，
3
2
)，直线PQ的斜率是k1，
所以k1=
yP-
3
2
xP
=
2t-3(1+4k2)
-8kt
．…..（10分）
因为k1•k=2，所以k•
2t-3(1+4k2)
-8kt
=2．
所以1+4k2=6t．②…..（12分）
所以由①，②式，可得  6t＞t2．
所以0＜t＜6．
所以实数t的取值范围是0＜t＜6．…..（14分）
练习册系列答案
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已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
1
2
，且经过点P(1，
3
2
)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设F是椭圆C的左焦，判断以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系，并说明理由．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短轴长为2
3
，右焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合，O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A、B是椭圆C上的不同两点，点D（-4，0），且满足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直线AB的斜率的取值范围．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）经过点A（1，
3
2
），且离心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点B（-1，0）能否作出直线l，使l与椭圆C交于M、N两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点O．若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
（2012•房山区二模）已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的长轴长是4，离心率为
1
2
．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设过点P（0，-2）的直线l交椭圆于M，N两点，且M，N不与椭圆的顶点重合，若以MN为直径的圆过椭圆C的右顶点A，求直线l的方程．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短轴长为2，离心率为
2
2
，设过右焦点的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，过A，B作直线x=2的垂线AP，BQ，垂足分别为P，Q．记λ=
AP+BQ
PQ
，若直线l的斜率k≥
3
，则λ的取值范围为
 
．

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