Question

设S_n为等差数列{a_n}的前n项和，已知

1

3

S3与

1

4

S4的等比中项为

1

5

S5，已知

1

3

S3与

1

4

S4的等差中项为1．
（1）求等差数列{a_n}的通项；
（2）求数列{|a_n|}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）由已知得：

1 3 S3• 1 4 S4=( 1 5 S5)2 1 3 S3+ 1 4 S4=2

，利用等差数列的求和公式，代入可求a₁，d，，进而可求通项a_n
（2）结合（1）中的条件可求数列{a_n}的和，进而根据n的取值范围可求T_n

解答：解：（1）由已知得：

1 3 S3• 1 4 S4=( 1 5 S5)2 1 3 S3+ 1 4 S4=2

，…（2分）
设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，则

1

n

Sn=a1+

n-1

2

d，
代入上述不等式组得：

(a1+d)•(a1+ 3 2 d)=(a1+2d)2 2a1+ 5 2 d=2

…（4分）
解得：

a1=4 d=- 12 5

或

a1=1 d=0

…（6分）
故an=-

12

5

n+

32

5

或a_n=1…（7分）
（2）若a_n=1，则T_n=n，…（8分）
若an=-

12

5

n+

32

5

，令a_n≥0，得：n≤2；…（10分）
故当n≤2时，Tn=-

6

5

n2+

26

5

n，…（12分）
当n＞2时，Tn=a1+a2-a3-a4-…-an=-Sn+2S2=

6

5

n2-

26

5

n+

28

5

…（15分）

点评：本题主要考查了等差数列的性质及求和公式的应用，其中（2）要注意分类讨论思想的应用．