Question

（本小题满分12分）如图，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，为侧棱上的点。

（１）求证：；

（２）若，求二面角的大小；

（３）在（２）的条件下，侧棱上是否存在一点，使得

？若存在，求的值；若不存在，试说明理由。

Answer 1

解：法一：（1）连，设交于，由题意知。以为坐标原点，分别为轴、轴、轴正方向，建立坐标系，设底面边长为2，则高，所以                 

故 ，即

（2）由题意知，平面的一个

法向量，                           

平面的一个法向量为

设所求的二面角为

则，所求二面角的大小为

（3）在棱上存在一点使

由（2）知是平面的一个法向量，且，

，设

则

而

从而时，

又不在平面内，故

方法二、几何法，略