Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=

2

，BB₁=2，∠ABC=90°，E、F分别为AA₁、C₁B₁的中点，求沿棱柱的表面从E到F两点的最短路径的长度．

Answer 1

分析：由题意，题中E、F分别在AA₁、C₁B₁上，所以“展开”后的图形中必须有AA₁、C₁B₁，画出图形，分类求出结果，找出最短路径．

解答：解：题中E、F分别在AA₁、C₁B₁上，所以“展开”后的图形中必须有AA₁、C₁B₁；故“展开”方式有以下四种：
（ⅰ）沿CC₁将面ACC₁A₁和面BCC₁B₁展开至同一平面，如图1，求得：EF²=

11

2

+2

2

；
（ⅱ）沿BB₁将面ABB₁A₁和面BCC₁B₁展开至同一平面，如图2，求得：EF²=

7

2

+2

2

；
（ⅲ）沿A₁B₁将面ABB₁A₁和面A₁B₁C₁展开至同一平面，如图3，求得：EF²=

7

2

+

2

；
（ⅳ）沿A₁C₁将面ACC₁A₁和面A₁C₁B₁展开至同一平面，如图4，求得：EF²=

9

2

；
比较可得（ⅳ）情况下，EF的值最小；
故EF的最小值为

3 2

2

．

点评：本题考查棱柱的结构特征，几何体的展开图形，分类讨论思想，是基础题．