Question

已知函数f(x)=ax²+bx+c（a＞0，bc≠0），，
（Ⅰ）若函数f(x)的最小值是f(-1)=0，且f(0)=1，求F(2)+F(-2)的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，f(x)＞x+k在区间[-3，-1]恒成立，试求k的取值范围；
（Ⅲ）令g(x)=2ax+b，若g(1)=0，又f(x)的图象在x轴上截得的弦的长度为m，且0＜m≤2，试确定c-b的符号。

Answer 1

解：（Ⅰ）由已知c=1，a-b+c=0，且，解得：a=1，b=2，
∴，∴，
∴。
（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下，f(x)＞x+k在区间[-3，-1]恒成立，即在区间[-3，-1]恒成立，
从而在区间[-3，-1]上恒成立，
令函数，则函数在区间[-3，-1]上是减函数，
且其最小值为，
∴k的取值范围为。
（Ⅲ）由g(1)=0，得2a+b=0，
∵a＞0，
∴b=-2a＜0，
设方程f(x)=0的两根为，则，，
∴，
∵0＜m≤2，
∴，∴，
∵a＞0且bc≠0，
∴c＞0，∴c-b＞0。