题目内容

（1）证明：函数f（x）=x3-x2+ln（x+1）在（-1，+∞）上是单调增函数；
（2）证明：ln
2010
2009
＞
2008
20093
．
分析：（1）先确定函数的定义域然后求导数f′（x），在（-1，+∞）上恒有f′（x）＞0，故得证；
（2）由（1）的单调性得到f(
1
2009
)＞f(0)=0，故f(
1
2009
)=-
2008
20093
+ln
2010
2009
＞0，得证．
解答：证明：（1）对于函数f（x）=x3-x2+ln（x+1），
f′(x)=3x2-2x+
1
x+1
=
3x3+(x-1)2
x+1
．---------------------（2分）
当x∈[0，+∞）时，f′（x）＞0；-----------------------（4分）
当x∈（-1，0）时，f′(x)=3x2-2x+
1
x+1
＞0．-----------------------（6分）
故当x∈（-1，+∞）时，总有f′（x）＞0．-----------------------（7分）
所以函数f（x）=x3-x2+ln（x+1）在区间（-1，+∞）上是单调增函数．-----------------------（8分）
（2）由（1）知，f(
1
2009
)＞f(0)，-----------------------（10分）
而f（0）=0．-----------------------（11分）
f(
1
2009
)=
1
20093
-
1
20092
+ln(
1
2009
+1)=-
2008
20093
+ln
2010
2009
．-----------------------（14分）
于是-
2008
20093
+ln
2010
2009
＞0，即ln
2010
2009
＞
2008
20093
．-----------------------（16分）
点评：本题主要考查了导数，利用导数判断函数的单调性的步骤是：
（1）确定 f（x）的定义域；
（2）求导数f′（x）；
（3）在函数 的定义域内解不等式f′（x）＞0和f′（x）＜0；
（4）确定函数的单调区间．若在函数式中含字母系数，往往要分类讨论．
练习册系列答案
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已知函数f(x)=
1
4x+2

（1）证明：函数f（x）关于点(
1
2
，
1
4
)对称．
（2）求f(0)+f(
1
8
)+f(
2
8
)+…+f(
7
8
)+f(1)的值．
已知函数f(x)=
a
2
-
2x
2x+1
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x1+x2
2
)＜
f(x1)+f(x2)
2
成立．
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2
2
，求证：an≤
1
2n
（n≥2，n∈N*）．
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x+y
1-xy
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1
7
)+f(
1
13
)+…+f(
1
n2+3n+3
)＞f(
1
2
)，（n∈Z）．

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